Die Vorlesung besteht aus den beiden Teilen Funktionentheorie und Vektoranalysis. Im Teil Funktionentheorie sind komplex differenzierbare Funktionen Gegenstand der Untersuchung. Im Gegensatz zur reellen Differenzierbarkeit ist diese Forderung überraschend stark und hat weitreichende Konsequenzen. So ist eine einmal komplex differenzierbare Funktion automatisch unendlich oft komplex differenzierbar und in eine Potenzreihe entwickelbar. Außerdem sind solche Funktionen sehr starr, etwa in dem Sinne, dass die Werte einer komplex differenzierbaren Funktion auf einer Kreisscheibe schon durch ihre Werte auf dem Rand eindeutig festgelegt sind. In dieser Vorlesung werden wir die Grundlagen der Funktionentheorie erarbeiten, zentral ist dabei die Cauchy-Integralformel und der Cauchy-Integralsatz. Dazu werden noch einige Konsequenzen besprochen.
Im Teil Vektoranalysis sollen zentrale Begriffe der Analysis, die in den Grundvorlesungen erarbeitet wurden, auf differnzierbare Mannigfaltigkeiten übertragen werden. Dabei werden wir insbesondere die Theorie von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, ihre Tangential- und Kotangentialräume und Differentialformen darauf entwickeln. Insbesondere wird der Kalkül der Differentialformen entwickelt und als zentrales Hilfsmittel der Satz von Stokes bewiesen.
- Kursleiter*in: Jan Metzger